Mekaniske svingesystem
 

Startside ] Mekaniske svingingar ] Elektromagnetiske svingingar ] EM bølgjer og antenner ] Signalbehandling ] Undervannsakustikk ] Eksamen ]

Mekanisk svingesystem 
Førelesing Sensorteori

Harmonisk svinging.

Fase.

Energi i mekaniske svingesystem.

Friksjon og demping.

Kva med tyngdekrafta?

Kva er vinkelfarten w?

Vidare arbeid med mekaniske svingingar.

Harmonisk svinging.

Eit mekanisk svingesystem består av ei elastisk fjør med stivhet k og ein kloss med masse m. Når avstand frå likevektsstillingen er x , er fjørkraft på klossen gitt ved Hooks lov:

F = -kx

(Fjørkraft er proporsjonal med forlenginga av fjøra, proporsjonalitetskonstanten er k)

Figur 1

Frå simuleringa http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm

 

Dersom klossen ligg på eit friksjonsfritt bord (her sett ovanfrå), kan vi sjå bort frå andre krefter enn fjørkrafta, og vi har eit harmonisk svingesystem. Newtons 2. lov gir:

Her vil både posisjonen x og akselerasjonen a variere med tida, og frå Grunnleggende fysikk veit vi at når posisjon x = x(t) :

For svingesystemet er

Den dobbelderiverte av posisjonen er proporsjonal med posisjonen! Dette er ei differensiallikning som vi kan løyse generelt i matematikken. Men vi veit at den dobbelderiverte av ein sinusfunksjon er ein sinusfunksjon, så vi prøver med:

Eksempel 1:

Vi måler samanheng mellom kraft som vi strekkjer ei fjør med, og forlenginga av fjøra. Resultatet er:

Kraft F

1,0 N

2,0 N

3,0 N

4,0 N

Forlenging x

3,0 cm

6,0 cm

9,0 cm

12,6 cm

Følgjer forlenginga Hooks lov? Finn eventuelt fjørkonstanten.

Løysing:

Vi reknar ut F/x for alle målingane:

F/x

33 N/m

33 N/m

33 N/m

32 N/m

Opp til ca. 10 cm er F/x konstant, og fjøra følgjer Hooks lov så langt.

Fjørstivheten er 33 N/m

Eksempel 2.

Eit elastisk svingesystem består av ein klosse med masse 4,0 kg og ei fjør med stivhet 16 N/m

Svingesystemet svingar med amplitude 5,0 cm og startar med maksimalt negativt utslag.

Finn frekvens og periode for svinginga!

Skriv eit uttrykk for posisjon, fart og akselerasjon som funksjon av tida!

 

Løysing:

Fase.

Om vi skal bruke x(t)=Asinwt eller =- Asinwt eller = Acoswt eller =- Acoswt er avhengig av startvilkåret, kva tid vi starta klokka. Generell løysing vil vera:

Der fasen f er avstanden i radianer frå origo til første maksimalpunkt for kurva.

Eksempel 3:

Finn amplitude, periode, frekvens, vinkelfart og fase for 4 svingefunksjonar:

Figur 2

Skriv for kvar funksjon eit uttrykk for x(t)!

Løysing:

Amplitude A

Periode T

Frekvens f

Vinkelfart w

Fase f

x(t)=Acos(wt-f)

2

3,14 s

0,318 Hz

2 rad/s

p/2

x(t)=2cos(2t- p/2)

1,5

3,14 s

0,318 Hz

2 rad/s

p/4

x(t)=1,5cos(2t- p/4)

1

2,1 s

0476 Hz

3 rad/s

0

x(t)=1cos(3t)

0,5

2,1 s

0476 Hz

3 rad/s

-p/2

x(t)=0,5cos(3t+p/2)

Alternativt kan vi sjå direkte av kurva om det er ei sinus eller cosinuskurve:

x(t)=-2cos(2t)

xt)=1,5sin(2t)

x(t)=1cos(3t)

x(t)=-0,5sin(3t)

Energi i mekaniske svingesystem.

Når ei kraft F = kx strekkjer ei elastisk fjør så ho får ei forlenging x , utfører krafta ei arbeid W på fjøra. Fjøra får då tilført ein potensiell energi Ep = W :

Når eit harmonisk svingesystem svingar, vil energien pendle mellom potensiell energi og kinetisk energi, og den totale mekaniske energien er konstant:

 

Dette kan vi bruke til å finne maksimal fart når amplituden er kjent.

Friksjon og demping.

I svingesystem som vi lagar, ser vi at amplituden avtar, energien i systemet er ikkje konstant. Grunnen til det er friksjonskrefter som bremsar bevegelsen, og energi går over til indre energi i luft, kloss og fjør - som får ein liten temperaturauke. Vi seier vi har dempa svinging.

I ein enkel modell for dempa svinging er friksjonskrafta proporsjonal med farten til klossen:

Dersom du køyrer simuleringa

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm, ser du korleis dempinga varierer med konstanten b. Eksempel på det på figur 3.

Figur 3

Dempa svinging.

Eksempel 4:

Eit harmonisk svingesystem består av ein kloss med masse 4,0 kg og ei fjør med stivhet 16 N/m. Amplituden er 10 cm. a) Finn største fart klossen har! b) Finn utslaget ved det tidspunkt der farten er 0,10 m/s!

Løysing:

 

 

Vertikalt svingesystem.

Kva med tyngdekrafta?

Når vi hengjer loddet på fjøra, blir ho strekt eit stykke x0 . Dette gir ei fjørkraft F0 =- k x0

Denne fjørkrafta "opphevar" tyngdekrafta G, slik at når vi no reknar forlenginga x frå denne nye likevektsstillinga, kan vi sjå bort frå både F0 og G.

Figur 4

Ved rekning på vertikalt svingesystem, tar vi difor ikkje med tyngdekrafta på figuren, og vi kan bruke figur 1. Når vi reknar med energi, tar vi då heller ikkje med potensiell energi mgh i tyngdefeltet i reknestykket.

 

Figur 5

Samanheng mellom sinusfunksjon og roterande visar.

Kva er vinkelfarten w?

Simuleringa http://www.xtec.es/~ocasella/applets/movcirc/appletsol.htm

 viser samanheng mellom fase f og vinkelfart w til ein visar som roterer og den vertikale bevegelsen y(t)=Asin(wt+f). w er vinkelfarten som visaren roterer med, wt er vinkelen med x-aksen ved eit gitt tidspunkt t , og f er startvinkelen mellom x-aksen og visaren.

f er også vinkelen sinuskurva er forskyvd mot venstre. Når vi brukar uttrykk som y(t)=Asin(wt-f) , (NB med minus) så er f vinkelen sinuskurva er forskyvd mot høgre.

 

Vidare arbeid med mekaniske svingingar:

Løys utvalg av oppgåver 2.1 til 4.6

Test deg sjølv her.

Innlevering oppgåve 3.3 og 4.6.